1. Datos del problema:
Aplicar identidades de Legendre para simplificar la fracción.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Identidad de Legendre: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$


• $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}$

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos el numerador (con $a = \csc x$ y $b = \cos x$):
$$\text{Numerador} = 4 (\csc x)(\cos x) = 4 \left( \frac{1}{\sin x} \right) \cos x = 4 \cot x$$
Simplificamos el denominador (con $a = \tan x + \cot x$ y $b = 1$):
$$\text{Denominador} = 4 (\tan x + \cot x)(1) = 4 (\tan x + \cot x)$$
Sustituimos en $M$:
$$M = \frac{4 \cot x}{4 (\tan x + \cot x)} = \frac{\cot x}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}$$
$$M = \frac{\cot x}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}} = \frac{\cot x}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \cot x \cdot \sin x \cdot \cos x$$
$$M = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \cos x$$
Cancelamos $\sin x$.

4. Resultado final:
$$M = \cos^2 x$$