1. Datos del problema:
Evaluar la expresión $F$ usando identidades de diferencia de cuadrados de senos.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$

3. Desarrollo paso a paso:
Definimos $A = \frac{\pi}{3} + x$ y $B = \frac{\pi}{6} + x$.
Calculamos la suma y la resta:
$$A + B = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2x = \frac{\pi}{2} + 2x$$
$$A - B = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$
Aplicamos la propiedad al numerador:
$$\text{Numerador} = \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} \right)$$
Por reducción al primer cuadrante: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos 2x$.
Sabemos que $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Sustituimos:
$$F = \frac{(\cos 2x) \cdot \frac{1}{2}}{\cos 2x}$$
Cancelamos $\cos 2x$.

4. Resultado final:
$$F = \frac{1}{2}$$