1. Datos del problema:
Simplificar $H$ usando identidades de ángulo mitad.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$


• $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$


• $\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$

3. Desarrollo paso a paso:
Reordenamos los términos en el numerador y denominador:
$$H = \frac{(1 - \cos x) + \sin x}{(1 + \cos x) + \sin x}$$
Sustituimos las fórmulas:
$$H = \frac{2 \sin^2(x/2) + 2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2) + 2 \sin(x/2) \cos(x/2)}$$
Factorizamos los términos comunes:
$$H = \frac{2 \sin(x/2) [\sin(x/2) + \cos(x/2)]}{2 \cos(x/2) [\cos(x/2) + \sin(x/2)]}$$
Cancelamos el factor común $[\sin(x/2) + \cos(x/2)]$:
$$H = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$$

4. Resultado final:
$$H = \tan \frac{x}{2}$$