1. Datos del problema:
Se busca simplificar la expresión $E$ utilizando identidades de ángulo doble y relaciones fundamentales.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha = (\cot \alpha - \tan \alpha)(\cot \alpha + \tan \alpha)$


• $\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot 2\alpha = \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$


• $\cot \alpha + \tan \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha}$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, simplificamos el denominador:
$$\text{Denominador} = (\cot \alpha - \tan \alpha)(\cot \alpha + \tan \alpha)$$
Sustituimos las identidades mencionadas:
$$\text{Denominador} = \left( \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \right) \left( \frac{2}{\sin 2\alpha} \right) = \frac{4 \cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$$
Ahora, sustituimos en la expresión original $E$:
$$E = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{4 \cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}}$$
Simplificamos los términos $\cos 2\alpha$:
$$E = \frac{\sin^2 2\alpha}{4}$$

4. Resultado final:
$$E = \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha$$