1. Datos del problema:
Razón de sumas de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\operatorname{sen} A + \operatorname{sen} B = 2 \operatorname{sen}(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$
• $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos el primer y último término, y los dos centrales, tanto en numerador como denominador:
$$\text{Numerador: } (\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} 9x) + (\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 7x)$$
$$= 2 \operatorname{sen} 6x \cos 3x + 2 \operatorname{sen} 6x \cos x = 2 \operatorname{sen} 6x (\cos 3x + \cos x)$$

$$\text{Denominador: } (\cos 3x + \cos 9x) + (\cos 5x + \cos 7x)$$
$$= 2 \cos 6x \cos 3x + 2 \cos 6x \cos x = 2 \cos 6x (\cos 3x + \cos x)$$

Armamos la fracción:
$$\frac{2 \operatorname{sen} 6x (\cos 3x + \cos x)}{2 \cos 6x (\cos 3x + \cos x)}$$

Simplificamos el factor común $2(\cos 3x + \cos x)$:
$$\frac{\operatorname{sen} 6x}{\cos 6x} = \tan 6x$$

4. Resultado final:
La identidad queda demostrada.