1. Datos del problema:
Linealización de la potencia quinta del coseno.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $2 \cos \theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$
• $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

3. Desarrollo paso a paso:
Elevamos $(2 \cos \theta)^5 = (e^{i\theta} + e^{-i\theta})^5$:
$$32 \cos^5 \theta = e^{i5\theta} + 5e^{i3\theta} + 10e^{i\theta} + 10e^{-i\theta} + 5e^{-i3\theta} + e^{-i5\theta}$$

Agrupamos:
$$32 \cos^5 \theta = (e^{i5\theta} + e^{-i5\theta}) + 5(e^{i3\theta} + e^{-i3\theta}) + 10(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$$

Usamos $e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2 \cos k\theta$:
$$32 \cos^5 \theta = 2 \cos 5\theta + 5(2 \cos 3\theta) + 10(2 \cos \theta)$$

Dividimos entre 2:
$$16 \cos^5 \theta = \cos 5\theta + 5 \cos 3\theta + 10 \cos \theta$$

4. Resultado final:
Queda demostrada la identidad.