1. Datos del problema:
Linealización de la potencia quinta del seno.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $2i \operatorname{sen} \theta = e^{i\theta} - e^{-i\theta}$ (Fórmula de Euler)
• Binomio de Newton: $(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

3. Desarrollo paso a paso:
Elevamos $(2i \operatorname{sen} \theta)^5 = (e^{i\theta} - e^{-i\theta})^5$:
$$32i \operatorname{sen}^5 \theta = e^{i5\theta} - 5e^{i3\theta} + 10e^{i\theta} - 10e^{-i\theta} + 5e^{-i3\theta} - e^{-i5\theta}$$

Agrupamos términos con el mismo exponente:
$$32i \operatorname{sen}^5 \theta = (e^{i5\theta} - e^{-i5\theta}) - 5(e^{i3\theta} - e^{-i3\theta}) + 10(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$$

Sustituimos de vuelta usando $e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i \operatorname{sen} k\theta$:
$$32i \operatorname{sen}^5 \theta = 2i \operatorname{sen} 5\theta - 5(2i \operatorname{sen} 3\theta) + 10(2i \operatorname{sen} \theta)$$

Dividimos todo por $2i$:
$$16 \operatorname{sen}^5 \theta = \operatorname{sen} 5\theta - 5 \operatorname{sen} 3\theta + 10 \operatorname{sen} \theta$$

Despejamos $\operatorname{sen}^5 \theta$:
$$\operatorname{sen}^5 \theta = \frac{1}{16} (10 \operatorname{sen} \theta - 5 \operatorname{sen} 3\theta + \operatorname{sen} 5\theta)$$

4. Resultado final:
Identidad demostrada.