1. Datos del problema:
Demostrar que la combinación lineal de cosenos de $20^\circ, 80^\circ$ y $40^\circ$ es nula.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Diferencia de cosenos: $\cos A - \cos B = -2 \operatorname{sen}(\frac{A+B}{2}) \operatorname{sen}(\frac{A-B}{2})$
• Valor notable: $\operatorname{sen} 30^\circ = \frac{1}{2}$
• Co-función: $\operatorname{sen} \theta = \cos(90^\circ - \theta)$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los dos primeros términos:
$$(\cos 20^\circ - \cos 80^\circ) - \cos 40^\circ$$

Aplicamos la fórmula de transformación a producto para $(\cos 20^\circ - \cos 80^\circ)$:
$$-2 \operatorname{sen}\left(\frac{20+80}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{20-80}{2}\right) = -2 \operatorname{sen} 50^\circ \operatorname{sen}(-30^\circ)$$

Dado que $\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x$:
$$-2 \operatorname{sen} 50^\circ (-\operatorname{sen} 30^\circ) = 2 \operatorname{sen} 50^\circ \left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{sen} 50^\circ$$

Sustituimos en la expresión:
$$\operatorname{sen} 50^\circ - \cos 40^\circ$$

Por la propiedad de ángulos complementarios, $\operatorname{sen} 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$:
$$\cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$$

4. Resultado final:
La identidad queda demostrada:
$$\cos 20^\circ - \cos 80^\circ - \cos 40^\circ = 0$$