1. Datos del problema:
Se nos pide demostrar una identidad que relaciona términos cuadráticos de funciones trigonométricas con un radio $r$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Identidad pitagórica fundamental: $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$
• Propiedad distributiva de la potencia: $(abc)^n = a^n b^n c^n$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del lado izquierdo de la igualdad (L.I.):
$$L.I. = r^2 \operatorname{sen}^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \operatorname{sen}^2 \theta \operatorname{sen}^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta$$

Factorizamos el término común $r^2 \operatorname{sen}^2 \theta$ de los dos primeros términos:
$$L.I. = r^2 \operatorname{sen}^2 \theta (\cos^2 \phi + \operatorname{sen}^2 \phi) + r^2 \cos^2 \theta$$

Aplicamos la identidad pitagórica $\cos^2 \phi + \operatorname{sen}^2 \phi = 1$:
$$L.I. = r^2 \operatorname{sen}^2 \theta (1) + r^2 \cos^2 \theta$$
$$L.I. = r^2 \operatorname{sen}^2 \theta + r^2 \cos^2 \theta$$

Factorizamos $r^2$:
$$L.I. = r^2 (\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta)$$

Nuevamente, aplicando la identidad pitagórica $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$L.I. = r^2 (1) = r^2$$

4. Resultado final:
Queda demostrado que:
$$(r \operatorname{sen} \theta \cos \phi)^2 + (r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \phi)^2 + (r \cos \theta)^2 = r^2$$