Paso 1: Sea $u=\tan(\alpha+\beta)$, $A=\tan\alpha$ y $B=\tan\beta $.

Entonces:
$$ \tan(2\alpha+\beta)=\tan\big((\alpha+\beta)+\alpha\big) =\frac{u+A}{1-uA}=4 \Rightarrow A=\frac{4-u}{1+4u}. $$
$$ \tan(\alpha+2\beta)=\tan\big((\alpha+\beta)+\beta\big) =\frac{u+B}{1-uB}=3 \Rightarrow B=\frac{3-u}{1+3u}. $$

Paso 2: Además, por definición:
$$ u=\tan(\alpha+\beta)=\frac{A+B}{1-AB}. $$
Sustituyendo $ A $ y $B $ en función de $ u $ se obtiene una ecuación cúbica para $u$:
$$ 11u^{3}+21u^{2}-33u-7=0. $$

Paso 3: Calcular
$$ R(u)=\frac{\tan 3\alpha}{\tan 3\beta} =\frac{\frac{3A-A^{3}}{1-3A^{2}}}{\frac{3B-B^{3}}{1-3B^{2}}}. $$
Sustituyendo $A=\frac{4-u}{1+4u}$ y $B=\frac{3-u}{1+3u}$, $R(u)$ se vuelve una fracción racional en $u$.
Al reducir dicha fracción usando la relación $11u^{3}+21u^{2}-33u-7=0$, el resultado se simplifica a una constante:

$$ \frac{\tan 3\alpha}{\tan 3\beta}=\frac{424}{171}. $$

Resultado final: $\boxed{\frac{424}{171}}$.