Paso 1: Simplificar la fracción:
$$ \frac{\sen\phi(\cos 3\phi+\cos\phi)}{\cos\phi(\sen 3\phi+\sen\phi)} =\tan\phi\cdot \frac{\cos 3\phi+\cos\phi}{\sen 3\phi+\sen\phi}. $$

Usando suma a producto:
$$ \cos 3\phi+\cos\phi=2\cos 2\phi\cos\phi,\qquad \sen 3\phi+\sen\phi=2\sen 2\phi\cos\phi. $$
Entonces:
$$ \frac{\cos 3\phi+\cos\phi}{\sen 3\phi+\sen\phi} =\frac{2\cos 2\phi\cos\phi}{2\sen 2\phi\cos\phi}=\cot 2\phi. $$
Por tanto:
$$ \tan\phi\cdot \cot 2\phi =\frac{\sen\phi}{\cos\phi}\cdot\frac{\cos 2\phi}{\sen 2\phi} =\frac{\sen\phi}{\cos\phi}\cdot\frac{\cos 2\phi}{2\sen\phi\cos\phi} =\frac{\cos 2\phi}{2\cos^2\phi}. $$

Paso 2: Sustituir $\cos 2\phi=2\cos^2\phi-1$:
$$ \frac{\cos 2\phi}{2\cos^2\phi} =\frac{2\cos^2\phi-1}{2\cos^2\phi} =1-\frac{1}{2\cos^2\phi}=1-\frac{1}{2}\sec^2\phi. $$

Paso 3: Evaluar el lado izquierdo:
$$ 1-\left(1-\frac{1}{2}\sec^2\phi\right)=\frac{1}{2}\sec^2\phi. $$

Así:
$$ A\sec^{\,n}(B\phi)=\frac{1}{2}\sec^2\phi \Rightarrow A=\frac{1}{2},\; n=2,\; B=1. $$

Resultado final:
$$ A+B+n=\frac{1}{2}+1+2=\frac{7}{2}. $$
$$ \boxed{\frac{7}{2}} $$