Datos del problema: Sea el valor común $t$:
$$ \frac{\sen x}{a}=\frac{\cos x}{b}=\frac{\tan x}{c}=t \Rightarrow \sen x=at,\;\cos x=bt,\;\tan x=ct. $$

Paso 1: Usar $\sen^2 x+\cos^2 x=1$:
$$ (at)^2+(bt)^2=1 \Rightarrow (a^2+b^2)t^2=1 \Rightarrow t^2=\frac{1}{a^2+b^2}. $$

Paso 2: Relación de la tangente:
$$ \tan x=\frac{\sen x}{\cos x}=\frac{at}{bt}=\frac{a}{b}. $$
Pero también $\tan x=ct$, entonces:
$$ ct=\frac{a}{b}\Rightarrow c^2 t^2=\frac{a^2}{b^2}. $$
Sustituyendo $t^2=\frac{1}{a^2+b^2}$:
$$ c^2\cdot \frac{1}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{b^2} \Rightarrow c^2=\frac{a^2(a^2+b^2)}{b^2}. $$

Paso 3: Multiplicar por $b^2$:
$$ b^2c^2=a^2(a^2+b^2)=E. $$

Resultado final: $\boxed{E=b^2c^2}$.