Datos del problema:
Simplificar una fracción con sumas de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética.

Fórmulas/Propiedades:
1. Transformación de suma a producto: $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$
2. Transformación de suma a producto: $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$
3. Identidad de la tangente: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Desarrollo paso a paso:
1. Agrupamos los términos de los extremos en el numerador y denominador:
$$Z = \frac{(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x}{(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x}$$
2. Aplicamos las fórmulas de transformación a los términos entre paréntesis:

• Numerador: $\sin 3x + \sin x = 2\sin(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = 2\sin 2x \cos x$


• Denominador: $\cos 3x + \cos x = 2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = 2\cos 2x \cos x$

3. Sustituimos en la expresión original:
$$Z = \frac{2\sin 2x \cos x + \sin 2x}{2\cos 2x \cos x + \cos 2x}$$
4. Factorizamos los términos comunes ($\sin 2x$ arriba y $\cos 2x$ abajo):
$$Z = \frac{\sin 2x (2\cos x + 1)}{\cos 2x (2\cos x + 1)}$$
5. Simplificamos el término $(2\cos x + 1)$:
$$Z = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$$

Resultado final:
$$Z = \tan 2x$$