1. Fórmulas de suma de tangentes y cotangentes:
Recordemos las identidades fundamentales:

• $\tan x + \tan y = \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x \cos y}$
• $\cot x + \cot y = \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y}$

2. Sustitución y simplificación de términos:
Invertimos las expresiones según lo solicita el problema:

• Primer término: $\frac{1}{\cot x + \cot y} = \frac{\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y}{\operatorname{sen}(x+y)}$
• Segundo término: $\frac{1}{\tan x + \tan y} = \frac{\cos x \cos y}{\operatorname{sen}(x+y)}$

Sustituimos en $E$:
$$ E = \frac{\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y - \cos x \cos y}{\operatorname{sen}(x+y)} $$

3. Aplicación del coseno de la suma:
Factorizamos el signo negativo en el numerador:
$$ E = \frac{-(\cos x \cos y - \operatorname{sen} x \operatorname{sen} y)}{\operatorname{sen}(x+y)} = \frac{-\cos(x+y)}{\operatorname{sen}(x+y)} = -\cot(x+y) $$

4. Evaluación numérica:
Dado que $x + y = 225^\circ$:
$$ E = -\cot(225^\circ) = -\cot(180^\circ + 45^\circ) = -\cot(45^\circ) $$
Sabiendo que $\cot(45^\circ) = 1$:
$$ E = -1 $$

Resultado final:
$$ \boxed{E = -1} $$