1. Propiedad auxiliar del ángulo triple:
Utilizaremos una variante de la identidad del ángulo triple para la tangente:
$$ \frac{2\cos 2\theta + 1}{2\cos 2\theta - 1} = \frac{\tan 3\theta}{\tan \theta} $$

2. Aplicación iterativa de la identidad:
Aplicamos esta relación a cada uno de los tres factores que componen la fracción:

• Para $\theta = x$: $\frac{2\cos 2x + 1}{2\cos 2x - 1} = \frac{\tan 3x}{\tan x}$
• Para $\theta = 3x$: $\frac{2\cos 6x + 1}{2\cos 6x - 1} = \frac{\tan 9x}{\tan 3x}$
• Para $\theta = 9x$: $\frac{2\cos 18x + 1}{2\cos 18x - 1} = \frac{\tan 27x}{\tan 9x}$

3. Desarrollo del producto (Efecto telescópico):
Al multiplicar los resultados, observamos que los términos intermedios se cancelan:
$$ F = \left( \frac{\tan 3x}{\tan x} \right) \cdot \left( \frac{\tan 9x}{\tan 3x} \right) \cdot \left( \frac{\tan 27x}{\tan 9x} \right) $$

Efectuando la simplificación:
$$ F = \frac{\tan 27x}{\tan x} $$

Resultado final:
$$ \boxed{F = \frac{\tan 27x}{\tan x}} $$