1. Datos del problema:

• Lado izquierdo (LI): $\operatorname{sen}^2\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) - \operatorname{sen}^2\left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\operatorname{sen}^2 A - \operatorname{sen}^2 B = \operatorname{sen}(A+B)\operatorname{sen}(A-B)$

3. Desarrollo paso a paso:
Identificamos $A = \frac{\pi}{8} + \alpha$ y $B = \frac{\pi}{8} - \alpha$.
Calculamos la suma y diferencia de los ángulos:
$$A + B = \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$
$$A - B = \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right) = 2\alpha$$

Aplicamos la identidad:
$$LI = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) \operatorname{sen}(2\alpha)$$

Sabemos que $\operatorname{sen}(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$$LI = \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{sen} 2\alpha = \frac{\operatorname{sen} 2\alpha}{\sqrt{2}}$$

4. Resultado final:
Queda demostrada la identidad.