1. Datos del problema:

• Lado izquierdo (LI): $\sec\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sec\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
• $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 B$
• $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \operatorname{sen}^2 \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos las secantes a cosenos:
$$LI = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}$$

Aplicamos la identidad del producto de cosenos de una suma por una diferencia:
$$LI = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{sen}^2 \alpha}$$

Sabemos que $\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, entonces $\cos^2(\pi/4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$:
$$LI = \frac{1}{\frac{1}{2} - \operatorname{sen}^2 \alpha} = \frac{1}{\frac{1 - 2\operatorname{sen}^2 \alpha}{2}}$$
$$LI = \frac{2}{1 - 2\operatorname{sen}^2 \alpha}$$

Usamos la identidad del ángulo doble $\cos 2\alpha = 1 - 2\operatorname{sen}^2 \alpha$:
$$LI = \frac{2}{\cos 2\alpha}$$
$$LI = 2 \sec 2\alpha$$

4. Resultado final:
Queda demostrada la identidad.