1. Datos del problema:

• Condición: $\tan^3 x + \tan^2 x + \tan x = 1$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

3. Desarrollo paso a paso:
A partir de la condición, dividimos toda la ecuación entre $\tan x$:
$$\frac{\tan^3 x}{\tan x} + \frac{\tan^2 x}{\tan x} + \frac{\tan x}{\tan x} = \frac{1}{\tan x}$$
$$\tan^2 x + \tan x + 1 = \cot x$$

Sustituimos este valor de $\cot x $ en la expresión solicitada $ F $:
$$F = \cot x + \tan^3 x$$
$$F = (\tan^2 x + \tan x + 1) + \tan^3 x$$
Ordenando los términos:
$$F = (\tan^3 x + \tan^2 x + \tan x) + 1$$

Por la condición inicial, sabemos que el paréntesis vale $1$:
$$F = 1 + 1 = 2$$

4. Resultado final:
$$F = 2$$