1. Datos del problema:

• Condición: $\tan x = \frac{\cos y + b \operatorname{sen} y}{\operatorname{sen} y - b \cos y}$
• Expresión a calcular: $T = \frac{(\cos y + b \operatorname{sen} y)(\operatorname{sen} y - b \cos y)}{\operatorname{sen} x \cos x}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\operatorname{sen} x \cos x = \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x}$
• $(\cos y + b \operatorname{sen} y)^2 + (\operatorname{sen} y - b \cos y)^2 = (1 + b^2)(\operatorname{sen}^2 y + \cos^2 y) = 1 + b^2$

3. Desarrollo paso a paso:
Sean $N = \cos y + b \operatorname{sen} y$ y $D = \operatorname{sen} y - b \cos y$. Por la condición:
$$\tan x = \frac{N}{D}$$

Sustituimos la identidad de $\operatorname{sen} x \cos x $ en la expresión $ T $:
$$T = \frac{N \cdot D}{\frac{\tan x}{1 + \tan^2 x}} = \frac{N \cdot D}{\frac{N/D}{1 + (N/D)^2}}$$
$$T = \frac{N \cdot D}{\frac{N/D}{(D^2 + N^2)/D^2}} = \frac{N \cdot D}{\frac{N \cdot D}{N^2 + D^2}} = N^2 + D^2$$

Ahora desarrollamos $N^2 + D^2$:
$$N^2 = \cos^2 y + 2b \operatorname{sen} y \cos y + b^2 \operatorname{sen}^2 y$$
$$D^2 = \operatorname{sen}^2 y - 2b \operatorname{sen} y \cos y + b^2 \cos^2 y$$
Sumando ambas expresiones:
$$N^2 + D^2 = (\cos^2 y + \operatorname{sen}^2 y) + b^2(\operatorname{sen}^2 y + \cos^2 y)$$
$$N^2 + D^2 = 1 + b^2(1) = 1 + b^2$$

4. Resultado final:
$$T = 1 + b^2$$