1. Datos del problema:

• Ecuación con ángulos triples y dobles.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\text{sen } 3x = 3 \text{ sen } x - 4 \text{ sen}^3 x$


• $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$


• Diferencia de cubos: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

3. Desarrollo paso a paso:

• Expresamos el numerador ($N$):

$$N = (3\text{sen } x - 4\text{sen}^3 x) + (4\cos^3 x - 3\cos x)$$
$$N = 3(\text{sen } x - \cos x) + 4(\cos^3 x - \text{sen}^3 x)$$

• Factorizamos la diferencia de cubos:

$$N = 3(\text{sen } x - \cos x) + 4(\cos x - \text{sen } x)(\cos^2 x + \cos x \text{ sen } x + \text{sen}^2 x)$$

• Como $\cos^2 x + \text{sen}^2 x = 1$:

$$N = -3(\cos x - \text{sen } x) + 4(\cos x - \text{sen } x)(1 + \cos x \text{ sen } x)$$

• Dividimos entre el denominador $(\cos x - \text{sen } x)$:

$$\frac{N}{\cos x - \text{sen } x} = -3 + 4(1 + \text{sen } x \cos x)$$
$$= -3 + 4 + 4 \text{ sen } x \cos x = 1 + 2(2 \text{ sen } x \cos x)$$
$$= 1 + 2 \text{ sen } 2x$$

• Comparando con $1 + n \text{ sen } 2x$, obtenemos $n = 2$.

4. Resultado final:
$$n = 2$$