1. Datos del problema:

• Expresión igualada a una suma de potencias de tangente y cotangente.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\cos 4x = 1 - 2\text{sen}^2 2x$


• $\text{sen } 2x = 2 \text{ sen } x \cos x$


• $\tan x + \cot x = \frac{1}{\text{sen } x \cos x} = \frac{2}{\text{sen } 2x}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Simplificamos el lado izquierdo (L):

$$L = \frac{3 + (1 - 2\text{sen}^2 2x)}{1 - (1 - 2\text{sen}^2 2x)} = \frac{4 - 2\text{sen}^2 2x}{2\text{sen}^2 2x}$$
$$L = \frac{4}{2\text{sen}^2 2x} - \frac{2\text{sen}^2 2x}{2\text{sen}^2 2x} = \frac{2}{\text{sen}^2 2x} - 1$$

• Ahora, trabajamos el lado derecho (R) probando para $n=2$:

$$R = \frac{1}{2}(\tan^2 x + \cot^2 x) = \frac{1}{2}((\tan x + \cot x)^2 - 2 \tan x \cot x)$$

• Sabemos que $\tan x + \cot x = \frac{2}{\text{sen } 2x}$ y $\tan x \cot x = 1$:

$$R = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{2}{\text{sen } 2x} \right)^2 - 2 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{\text{sen}^2 2x} - 2 \right)$$
$$R = \frac{2}{\text{sen}^2 2x} - 1$$

• Al comparar $L $ y $ R $, observamos que la igualdad se cumple cuando $n=2$.

4. Resultado final:
$$n = 2$$