1. Datos del problema:

• $A + B + C = 180^\circ$


• $\tan(A/2) = 3\tan(B/2) = 2\tan(C/2)$

2. Fórmulas/Propiedades:

• En un triángulo: $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1$


• $\tan \theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Sea $k$ una constante tal que: $\tan(A/2) = 6k$, $\tan(B/2) = 2k$, $\tan(C/2) = 3k$.


• Aplicamos la propiedad de la suma de productos de tangentes medios:

$$(6k)(2k) + (2k)(3k) + (3k)(6k) = 1 \implies 12k^2 + 6k^2 + 18k^2 = 1$$
$$36k^2 = 1 \implies k = 1/6$$

• Hallamos los valores individuales:

$\tan(B/2) = 2(1/6) = 1/3$
$\tan(C/2) = 3(1/6) = 1/2$

• Calculamos $\tan B$ y $\tan C$:

$\tan B = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$
$\tan C = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$

• Calculamos $F$:

$F = 3(4/3) + 4(3/4) = 4 + 3 = 7$

4. Resultado final:
$$F = 7$$