1. Datos del problema:

• $\frac{a}{\text{sen } x} = \frac{b}{\cos x}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Definición de tangente: $\tan x = \frac{\text{sen } x}{\cos x}$


• Tangente del ángulo doble: $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

3. Desarrollo paso a paso:

• De la igualdad dada, despejamos la relación seno/coseno:

$$a \cos x = b \text{ sen } x \implies \frac{a}{b} = \frac{\text{sen } x}{\cos x}$$
Por lo tanto: $\tan x = \frac{a}{b}$

• Sustituimos este valor en la fórmula de $\tan 2x$:

$$\tan 2x = \frac{2(a/b)}{1 - (a/b)^2}$$

• Operamos algebraicamente:

$$\tan 2x = \frac{2a/b}{(b^2 - a^2)/b^2} = \frac{2a}{b} \cdot \frac{b^2}{b^2 - a^2}$$
$$\tan 2x = \frac{2ab}{b^2 - a^2}$$

4. Resultado final:
$$\tan 2x = \frac{2ab}{b^2 - a^2}$$