1. Datos del problema:

• $\frac{\text{sen}^7 x}{\sec x} + \frac{\cos^7 x}{\csc x} = m \text{ sen } 2x + n \text{ sen}^3 2x$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sec x = 1/\cos x$, $\csc x = 1/\text{sen } x$


• $\text{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \text{ sen}^2 x \cos^2 x$


• $\text{sen } x \cos x = \frac{1}{2} \text{ sen } 2x$

3. Desarrollo paso a paso:

• Reescribimos el lado izquierdo (L):

$L = \text{sen}^7 x \cos x + \cos^7 x \text{ sen } x$

• Factorizamos $\text{sen } x \cos x$:

$L = \text{sen } x \cos x (\text{sen}^6 x + \cos^6 x)$

• Sustituimos las identidades de potencias:

$L = \left( \frac{1}{2} \text{ sen } 2x \right) (1 - 3 \text{ sen}^2 x \cos^2 x)$
$L = \left( \frac{1}{2} \text{ sen } 2x \right) \left( 1 - 3 \left( \frac{1}{2} \text{ sen } 2x \right)^2 \right)$
$L = \left( \frac{1}{2} \text{ sen } 2x \right) \left( 1 - \frac{3}{4} \text{ sen}^2 2x \right)$

• Distribuimos para igualar coeficientes:

$L = \frac{1}{2} \text{ sen } 2x - \frac{3}{8} \text{ sen}^3 2x$

• Identificamos: $m = 1/2$ y $n = -3/8$.


• Calculamos $A$:

$A = 5(1/2) - 12(-3/8) = \frac{5}{2} + \frac{36}{8} = \frac{5}{2} + \frac{9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

4. Resultado final:
$$A = 7$$