1. Datos del problema:

• $x + y + z = 180^{\circ}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sin^{2} A = \frac{1-\cos 2A}{2}$
• $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
• $\cos(180^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$

3. Desarrollo paso a paso:
Usamos degradación en los dos primeros términos:
$$ \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{1-\cos 2y}{2} + \sin^{2} z = 1 - \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 2y) + \sin^{2} z $$
Aplicamos transformación de suma a producto:
$$ 1 - \cos(x+y)\cos(x-y) + \sin^{2} z $$
Como $x+y = 180-z$, entonces $\cos(x+y) = -\cos z$ y $\sin^{2} z = 1-\cos^{2} z$:
$$ 1 - (-\cos z)\cos(x-y) + 1 - \cos^{2} z = 2 + \cos z(\cos(x-y) - \cos z) $$
Sustituyendo $-\cos z = \cos(x+y)$:
$$ 2 + \cos z(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $$
Aplicamos transformación nuevamente:
$$ 2 + \cos z(2\cos x \cos y) = 2 + 2\cos x \cos y \cos z $$
Restando el término $-2\cos x \cos y \cos z$ del enunciado:
$$ (2 + 2\cos x \cos y \cos z) - 2\cos x \cos y \cos z = 2 $$

4. Resultado final:
La identidad es correcta.