1. Datos del problema:

• Expresión: $E = 2(\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha) - 3(\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha) + 1$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha$
• $\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha = 1 - 3\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades auxiliares en la expresión original:
$$ E = 2(1 - 3\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha) - 3(1 - 2\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha) + 1 $$
Distribuyendo los coeficientes:
$$ E = 2 - 6\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha - 3 + 6\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha + 1 $$
Agrupando términos semejantes:
$$ E = (2 - 3 + 1) + (-6\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha + 6\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha) $$
$$ E = 0 + 0 = 0 $$

4. Resultado final:
La identidad queda demostrada.