Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_053
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Hallar $\tan \theta$ a partir del gráfico mostrado. (Diagrama con alturas 3 y 1 sobre una base de 5, ángulo $\alpha$ entre diagonales).
Hallar $\tan \theta$ a partir del gráfico mostrado. (Diagrama con alturas 3 y 1 sobre una base de 5, ángulo $\alpha$ entre diagonales).
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Consideremos el origen en la esquina inferior izquierda.
La primera recta (pendiente negativa) va de $(0,3)$ a $(5,0)$. Su pendiente es $m_1 = \frac{0-3}{5-0} = -3/5$.
La segunda recta (pendiente positiva) va de $(0,0)$ a $(5,1)$. Su pendiente es $m_2 = \frac{1-0}{5-0} = 1/5$.
El ángulo $\alpha$ (llamado $\theta$ en la pregunta) entre ellas se halla con la fórmula:
$$ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1/5 - (-3/5)}{1 + (1/5)(-3/5)} \right| = \frac{4/5}{1 - 3/25} = \frac{4/5}{22/25} $$
$$ \tan \theta = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{22} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11} $$
2. Resultado final:
$$ \tan \theta = \frac{10}{11} $$
Consideremos el origen en la esquina inferior izquierda.
La primera recta (pendiente negativa) va de $(0,3)$ a $(5,0)$. Su pendiente es $m_1 = \frac{0-3}{5-0} = -3/5$.
La segunda recta (pendiente positiva) va de $(0,0)$ a $(5,1)$. Su pendiente es $m_2 = \frac{1-0}{5-0} = 1/5$.
El ángulo $\alpha$ (llamado $\theta$ en la pregunta) entre ellas se halla con la fórmula:
$$ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1/5 - (-3/5)}{1 + (1/5)(-3/5)} \right| = \frac{4/5}{1 - 3/25} = \frac{4/5}{22/25} $$
$$ \tan \theta = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{22} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11} $$
2. Resultado final:
$$ \tan \theta = \frac{10}{11} $$