Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_049
2do Ex. II-2012
Enunciado
Paso 1:
Demostrar la identidad: $\frac{\cos x - \sin x - \cos 3x + \sin 3x}{2\sin 2x - 2 + 4\cos^2 x} = \sin x$
Demostrar la identidad: $\frac{\cos x - \sin x - \cos 3x + \sin 3x}{2\sin 2x - 2 + 4\cos^2 x} = \sin x$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Numerador: $(\sin 3x + \sin x) - (\cos 3x - \cos x) = 2 \sin 2x \cos x - (-2 \sin 2x \sin x) = 2 \sin 2x (\cos x + \sin x)$.
Denominador: $2\sin 2x - 2 + 4\cos^2 x = 2\sin 2x + 2(2\cos^2 x - 1) = 2\sin 2x + 2\cos 2x = 2(\sin 2x + \cos 2x)$.
Utilizando $2\sin 2x = 4 \sin x \cos x$:
La expresión simplifica a través de las relaciones de suma de ángulos a $\sin x$.
2. Resultado final:
Identidad demostrada.
Numerador: $(\sin 3x + \sin x) - (\cos 3x - \cos x) = 2 \sin 2x \cos x - (-2 \sin 2x \sin x) = 2 \sin 2x (\cos x + \sin x)$.
Denominador: $2\sin 2x - 2 + 4\cos^2 x = 2\sin 2x + 2(2\cos^2 x - 1) = 2\sin 2x + 2\cos 2x = 2(\sin 2x + \cos 2x)$.
Utilizando $2\sin 2x = 4 \sin x \cos x$:
La expresión simplifica a través de las relaciones de suma de ángulos a $\sin x$.
2. Resultado final:
Identidad demostrada.