Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_046
2do Ex. II-2004
Enunciado
Paso 1:
Demostrar la identidad: $\frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \csc \alpha$
Demostrar la identidad: $\frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \csc \alpha$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Numerador (N):
$$ N = 2(\sin 2\alpha + (2\cos^2 \alpha - 1)) = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $$
Denominador (D): Agrupamos términos:
$$ D = (\sin 3\alpha - \sin \alpha) - (\cos 3\alpha - \cos \alpha) $$
Usamos resta de senos y resta de cosenos:
$$ D = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha - (-2 \sin 2\alpha \sin \alpha) $$
$$ D = 2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) $$
Dividimos N entre D:
$$ \frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{2 \sin \alpha (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha $$
2. Resultado final:
Queda demostrada la identidad.
Numerador (N):
$$ N = 2(\sin 2\alpha + (2\cos^2 \alpha - 1)) = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $$
Denominador (D): Agrupamos términos:
$$ D = (\sin 3\alpha - \sin \alpha) - (\cos 3\alpha - \cos \alpha) $$
Usamos resta de senos y resta de cosenos:
$$ D = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha - (-2 \sin 2\alpha \sin \alpha) $$
$$ D = 2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) $$
Dividimos N entre D:
$$ \frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{2 \sin \alpha (\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha $$
2. Resultado final:
Queda demostrada la identidad.