Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_045
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Demostrar la identidad: $\frac{\sin \alpha + \cos(2\beta - \alpha)}{\cos \alpha - \sin(2\beta - \alpha)} = \cot \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right)$
Demostrar la identidad: $\frac{\sin \alpha + \cos(2\beta - \alpha)}{\cos \alpha - \sin(2\beta - \alpha)} = \cot \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right)$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Observemos que el lado izquierdo es idéntico a la estructura del problema anterior (386), cambiando variables. Sabemos que:
$$ \frac{1 + \sin 2\beta}{\cos 2\beta} = \frac{(\cos \beta + \sin \beta)^2}{\cos^2 \beta - \sin^2 \beta} = \frac{\cos \beta + \sin \beta}{\cos \beta - \sin \beta} $$
Dividiendo entre $\cos \beta$:
$$ \frac{1 + \tan \beta}{1 - \tan \beta} = \tan(45^\circ + \beta) $$
Por identidades de co-función: $\tan(45^\circ + \beta) = \cot(90^\circ - (45^\circ + \beta)) = \cot(45^\circ - \beta) = \cot(\frac{\pi}{4} - \beta)$.
2. Resultado final:
La identidad queda demostrada.
Observemos que el lado izquierdo es idéntico a la estructura del problema anterior (386), cambiando variables. Sabemos que:
$$ \frac{1 + \sin 2\beta}{\cos 2\beta} = \frac{(\cos \beta + \sin \beta)^2}{\cos^2 \beta - \sin^2 \beta} = \frac{\cos \beta + \sin \beta}{\cos \beta - \sin \beta} $$
Dividiendo entre $\cos \beta$:
$$ \frac{1 + \tan \beta}{1 - \tan \beta} = \tan(45^\circ + \beta) $$
Por identidades de co-función: $\tan(45^\circ + \beta) = \cot(90^\circ - (45^\circ + \beta)) = \cot(45^\circ - \beta) = \cot(\frac{\pi}{4} - \beta)$.
2. Resultado final:
La identidad queda demostrada.