1. Datos del problema:

• Expresión: $F = \cos(2x) + \cos(2y) + \cos(2z) + \cos(2x+2y+2z)$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Suma de cosenos: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos de dos en dos:
$$ F = [\cos(2x) + \cos(2y)] + [\cos(2x+2y+2z) + \cos(2z)] $$
Aplicamos la fórmula de suma a producto en ambos paréntesis:
$$ F = 2 \cos(x+y) \cos(x-y) + 2 \cos(x+y+2z) \cos(x+y) $$
Factorizamos el término común $2 \cos(x+y)$:
$$ F = 2 \cos(x+y) [ \cos(x-y) + \cos(x+y+2z) ] $$
Aplicamos nuevamente la suma a producto dentro del corchete:
$$ F = 2 \cos(x+y) \left[ 2 \cos \left( \frac{(x-y) + (x+y+2z)}{2} \right) \cos \left( \frac{(x-y) - (x+y+2z)}{2} \right) \right] $$
Simplificamos los argumentos:
$$ F = 2 \cos(x+y) [ 2 \cos(x+z) \cos(-y-z) ] $$
Como $\cos(-\theta) = \cos \theta$:
$$ F = 4 \cos(x+y) \cos(x+z) \cos(y+z) $$

4. Resultado final:
La forma factorizada es $4 \cos(x+y) \cos(x+z) \cos(y+z)$.