1. Datos del problema:

• Expresión: $E = \tan \alpha + \tan \beta$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Definición: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• Seno de la suma: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos las tangentes a senos y cosenos:
$$ E = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $$
Sumamos las fracciones buscando el común denominador:
$$ E = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} $$
Reconocemos en el numerador el desarrollo del seno de una suma:
$$ E = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} $$

4. Resultado final:
$$ E = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} $$