1. Datos del problema:

• Identidad a demostrar.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\cos(a + b) \cos(a - b) = \cos^2 a - \sin^2 b$.
• $\sin^2 b + \cos^2 b = 1 \Rightarrow 1 - \sin^2 b = \cos^2 b$.

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del lado izquierdo de la igualdad:
$$ L.I. = \cos(a + b) \cos(a - b) + 1 $$

Aplicamos la identidad del producto de cosenos:
$$ L.I. = (\cos^2 a - \sin^2 b) + 1 $$

Reordenamos los términos:
$$ L.I. = \cos^2 a + (1 - \sin^2 b) $$

Usamos la identidad pitagórica para sustituir $(1 - \sin^2 b)$:
$$ L.I. = \cos^2 a + \cos^2 b $$

Observamos que el resultado es idéntico al lado derecho de la ecuación original.

4. Resultado final:
Queda demostrada la identidad: $\cos(a + b) \cos(a - b) + 1 = \cos^2 a + \cos^2 b$.