1. Datos del problema:

• Condición de triángulo: $x + y + z = 180^\circ$.
• Propiedad derivada: $\sin z = \sin(180^\circ - (x+y)) = \sin(x+y)$.
• Propiedad derivada: $\cos z = \cos(180^\circ - (x+y)) = -\cos(x+y)$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Identidad de degradación: $\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}$.
• Transformación de suma a producto: $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.
• Identidad: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del lado izquierdo (L.I.):
$$ L.I. = \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z $$

Agrupamos los dos primeros términos y aplicamos identidades:
$$ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{1-\cos 2y}{2} = 1 - \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 2y) $$
$$ = 1 - \cos(x+y)\cos(x-y) $$

Sustituimos esto en la expresión original y usamos $\sin^2 z = 1 - \cos^2 z$:
$$ L.I. = [1 - \cos(x+y)\cos(x-y)] + [1 - \cos^2 z] - 2 \cos x \cos y \cos z $$
$$ L.I. = 2 - \cos(x+y)\cos(x-y) - \cos^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z $$

Como $\cos(x+y) = -\cos z$:
$$ L.I. = 2 - (-\cos z)\cos(x-y) - \cos^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z $$
$$ L.I. = 2 + \cos z \cos(x-y) - \cos^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z $$

Factorizamos $\cos z$:
$$ L.I. = 2 + \cos z [\cos(x-y) - \cos z - 2 \cos x \cos y] $$

Nuevamente usamos $-\cos z = \cos(x+y)$:
$$ L.I. = 2 + \cos z [\cos(x-y) + \cos(x+y) - 2 \cos x \cos y] $$

Aplicamos la identidad $\cos(x-y) + \cos(x+y) = 2 \cos x \cos y$:
$$ L.I. = 2 + \cos z [2 \cos x \cos y - 2 \cos x \cos y] $$
$$ L.I. = 2 + \cos z [0] = 2 $$

4. Resultado final:
Queda demostrada la identidad: $\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2 \cos x \cos y \cos z = 2$.