1. Datos y fórmulas fundamentales:
Para resolver esta identidad, utilizaremos las siguientes relaciones trigonométricas:

• Tangente de la diferencia de ángulos: $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$
• Identidad fundamental: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• Identidad del ángulo doble: $\sin \alpha = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}$
• Identidad de diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

2. Transformación de la tangente del ángulo compuesto:
Sabemos que $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. Aplicamos la fórmula de la tangente de una resta:
$$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan\frac{\pi}{4} \tan\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan\frac{\alpha}{2}} $$
Expresando en términos de seno y coseno:
$$ \frac{1 - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{1 + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{\frac{\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}} $$

3. Análisis del término $(1 + \sin\alpha)$:
Podemos expresar el número $1$ y el $\sin\alpha$ en términos del ángulo mitad $\frac{\alpha}{2}$:
$$ 1 + \sin\alpha = \left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\right) + 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $$
Notamos que esto es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ 1 + \sin\alpha = \left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\right)^2 $$

4. Desarrollo de la expresión original:
Sustituimos los resultados de los pasos 2 y 3 en el numerador del lado izquierdo:
$$ \begin{aligned} \text{Numerador} &= \left[ \frac{\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}} \right] \cdot \left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\right)^2 \\ \text{Numerador} &= \left( \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right) \left( \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \right) \end{aligned} $$
Aplicamos diferencia de cuadrados:
$$ \text{Numerador} = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} $$
Por identidad de ángulo doble, sabemos que $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos2\theta$. En este caso:
$$ \text{Numerador} = \cos\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\alpha $$

5. Conclusión:
Sustituimos el numerador simplificado en la expresión original:
$$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) (1+\sin\alpha)}{\sin\alpha} = \cot\alpha} $$
La identidad ha sido demostrada satisfactoriamente.