Es evidente que partiremos del lado izquierdo (LHS) de la igualdad.

Primero, trabajamos en el numerador. Recordamos la identidad del ángulo doble para el coseno: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Sustituimos esta identidad en el numerador:
$$ \text{Numerador} = 2(\sin(2\alpha) + (2\cos^2(\alpha) - 1)) = 2(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha)) $$

Ahora, trabajamos en el denominador. Reagrupamos los términos:
$$ \text{Denominador} = \cos(\alpha) - \sin(\alpha) - \cos(3\alpha) + \sin(3\alpha) $$
$$ = (\sin(3\alpha) - \sin(\alpha)) + (\cos(\alpha) - \cos(3\alpha)) $$

Utilizamos las fórmulas de transformación de resta a producto:
1. Para la resta de senos: $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$$ \sin(3\alpha) - \sin(\alpha) = 2\cos\left(\frac{3\alpha+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 2\cos(2\alpha)\sin(\alpha) $$

2. Para la resta de cosenos: $\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$$ \cos(\alpha) - \cos(3\alpha) = -2\sin\left(\frac{\alpha+3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-3\alpha}{2}\right) $$
$$ = -2\sin(2\alpha)\sin(-\alpha) $$
Como $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, la expresión queda:
$$ = -2\sin(2\alpha)(-\sin(\alpha)) = 2\sin(2\alpha)\sin(\alpha) $$

Sustituimos estos resultados en el denominador:
$$ \text{Denominador} = 2\cos(2\alpha)\sin(\alpha) + 2\sin(2\alpha)\sin(\alpha) $$

Ahora, formamos la fracción completa del LHS:
$$ \text{LHS} = \frac{2(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))}{2\cos(2\alpha)\sin(\alpha) + 2\sin(2\alpha)\sin(\alpha)} $$

Factorizamos el denominador, extrayendo el factor común $2\sin(\alpha)$:
$$ \text{LHS} = \frac{2(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))}{2\sin(\alpha)(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))} $$

Cancelamos el término común $2(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))$ del numerador y del denominador:
$$ \text{LHS} = \frac{1}{\sin(\alpha)} $$

Finalmente, usamos la identidad recíproca de la cosecante, $\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}$:
$$ \text{LHS} = \csc(\alpha) $$

Por lo que queda demostrada la identidad.