Estrategia:
Para aplicar fórmulas de suma a producto, necesitamos que el numerador sea puramente de cosenos (o senos) y el denominador también. Usaremos identidades de co-función:
$$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Cofunción de seno} & \sin(\alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\ \hline \text{Cofunción de coseno} & \cos(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\ \hline \end{array} $$

Desarrollo paso a paso:

1. Transformamos el miembro izquierdo (LHS):
$$ LHS = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\beta - \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(2\beta - \alpha)} $$

2. Aplicamos las fórmulas de suma a producto:

• Numerador: $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
• Denominador: $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Donde $A = \frac{\pi}{2} - \alpha$ y $B = 2\beta - \alpha$.

3. Calculamos los argumentos:
$$ \begin{aligned} \frac{A+B}{2} &= \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) + (2\beta - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\beta - 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} + \beta - \alpha \\ \frac{A-B}{2} &= \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) - (2\beta - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} = \frac{\pi}{4} - \beta \end{aligned} $$

4. Sustituimos en la fracción:
$$ LHS = \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \beta - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \beta - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)} $$

5. Simplificamos los términos comunes:
$$ LHS = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)} = \cot\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sin(\alpha) + \cos(2\beta - \alpha)}{\cos(\alpha) - \sin(2\beta - \alpha)} = \cot\left[\frac{\pi}{4} - \beta\right]} $$