Propiedades fundamentales:
$$ \begin{array}{ll} \text{1. Ángulo doble (seno):} & \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \text{2. Ángulo doble (coseno):} & \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\ \text{3. Identidad pitagórica:} & 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \\ \text{4. Definiciones:} & \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \sec x = \frac{1}{\cos x} \end{array} $$

Esquema de transformación (Lado Derecho a Lado Izquierdo):
$$ \text{RHS} \xrightarrow{\text{Suma de frac.}} \frac{\sin 2\alpha + 1}{\cos 2\alpha} \xrightarrow{\text{Sustitución}} \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \rightarrow \text{LHS} $$

Desarrollo pedagógico:

Partimos del miembro derecho (RHS):
$$ RHS = \tan 2\alpha + \sec 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{1}{\cos 2\alpha} $$

Expresamos como una sola fracción:
$$ RHS = \frac{\sin 2\alpha + 1}{\cos 2\alpha} $$

Sustituimos el numerador ($1$ por la identidad pitagórica y $\sin 2\alpha$ por su ángulo doble) y el denominador por su ángulo doble:
$$ RHS = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha + (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} $$

Observamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y el denominador una diferencia de cuadrados:
$$ RHS = \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)} $$

Cancelamos el factor común $(\cos\alpha + \sin\alpha)$:
$$ RHS = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} $$

Conclusión:
Como el desarrollo del lado derecho es igual al lado izquierdo, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\tan 2\alpha+\sec 2\alpha} $$