Datos y conceptos clave:

• Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• Identidades de suma y resta: $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
• Identidad del ángulo doble: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$
• Valor notable: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Representación lógica del proceso:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Paso 1: Factorizar} & \text{Paso 2: Aplicar identidades} & \text{Paso 3: Reducir y multiplicar} \\ \hline (a+b)(a-b) & \sin(A \pm B) & 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \\ \hline \end{array} $$

Desarrollo paso a paso:

1. Aplicamos diferencia de cuadrados al miembro izquierdo (LHS):
$$ LHS = \left[\sin\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right] \left[\sin\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right] $$

2. Expandimos cada término usando $\sin(x \pm y)$:
$$ \begin{aligned} \text{Factor 1: } & \left(\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha\right) + \left(\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha\right) = 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha \\ \text{Factor 2: } & \left(\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha\right) - \left(\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha\right) = 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha \end{aligned} $$

3. Multiplicamos los resultados simplificados:
$$ LHS = \left( 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\alpha \right) \left( 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\alpha \right) $$

4. Reordenamos para identificar los ángulos dobles:
$$ LHS = \underbrace{\left( 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} \right)}_{\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)} \cdot \underbrace{\left( 2\sin\alpha\cos\alpha \right)}_{\sin(2\alpha)} $$

5. Sustituimos los valores conocidos:
$$ LHS = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin(2\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin(2\alpha) $$

Resultado final:
$$ \boxed{\sin^2\left[\frac{\pi}{8} + \alpha\right] - \sin^2\left[\frac{\pi}{8} - \alpha\right] = \frac{\sin(2\alpha)}{\sqrt{2}}} $$