1. Marco Teórico:
Utilizaremos la diferencia de cuadrados y la relación entre funciones trigonométricas.
$$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Producto de senos} & \sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B \\ \text{Secante} & \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \\ \text{Tangente} & \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \hline \end{array} $$

2. Desarrollo de la demostración:

Trabajaremos partiendo del lado derecho (RHS):
$$ R = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\sec^2\alpha\sec^2\beta $$

Paso 1: Aplicamos la identidad del producto de senos de suma y diferencia:
$$ \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta $$

Paso 2: Sustituimos las secantes por sus equivalentes en cosenos:
$$ R = (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2 \beta} $$

Paso 3: Distribuimos los denominadores. Para visualizarlo mejor:
$$ R = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta} = \underbrace{\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \beta}{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}_{\text{Término 1}} - \underbrace{\frac{\sin^2 \beta \cos^2 \alpha}{\cos^2 \beta \cos^2 \alpha}}_{\text{Término 2}} $$

Forma directa:
$$ \begin{aligned} R &= \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta} \cdot \cos^2 \beta - \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta \cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \\ R &= \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} - \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \end{aligned} $$

Paso 4: Simplificamos las fracciones unitarias:
$$ R = \tan^2 \alpha (1) - \tan^2 \beta (1) = \tan^2 \alpha - \tan^2 \beta $$

Resultado final:
$$ \boxed{\tan^2\alpha-\tan^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\sec^2\alpha\sec^2\beta} $$