1. Identidades fundamentales:
Para esta demostración usaremos la estructura de la tangente de una diferencia:

$$ \begin{array}{lcl} \tan(A-B) &=& \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) &=& 1 \\ (a \pm b)^2 &=& a^2 \pm 2ab + b^2 \\ \end{array} $$

2. Desarrollo pedagógico:

Paso 1: Transformamos la tangente del lado izquierdo usando la resta de ángulos:
$$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan \alpha}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan \alpha} = \frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} $$

Paso 2: Elevamos al cuadrado la expresión obtenida:
$$ \tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \left( \frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \right)^2 $$

Paso 3: Expresamos la tangente en función de seno y coseno ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$):
$$ \left( \frac{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \right)^2 = \left( \frac{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}} \right)^2 = \left( \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \right)^2 $$

Paso 4: Desarrollamos los cuadrados en el numerador y denominador:
$$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \frac{\cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} $$

Paso 5: Aplicamos las identidades pitagóricas y de ángulo doble:
Representación de la sustitución:
$$ \begin{array}{c} \text{Numerador:} \\ \underbrace{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}_{1} - \underbrace{2 \sin \alpha \cos \alpha}_{\sin(2\alpha)} \\ \hline \text{Denominador:} \\ \underbrace{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}_{1} + \underbrace{2 \sin \alpha \cos \alpha}_{\sin(2\alpha)} \end{array} $$

Sustituyendo, llegamos al miembro derecho:
$$ \frac{1 - \sin(2\alpha)}{1 + \sin(2\alpha)} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \sin(2\alpha)}{1 + \sin(2\alpha)}} $$