1. Transformación de suma a producto:

• $2\sin 4x \cos x = a \implies (1)$
• $2\cos 4x \cos x = b \implies (2)$

2. Obtener $\cos 4x$ y $\cos x$:
Dividiendo (1) entre (2): $\tan 4x = a/b$. Por Pitágoras: $\cos 4x = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Elevando al cuadrado y sumando (1) y (2):
$$(2\cos x)^2 (\sin^2 4x + \cos^2 4x) = a^2 + b^2 \implies 4\cos^2 x = a^2 + b^2 \implies \cos^2 x = \frac{a^2 + b^2}{4}$$

3. Relacionar ángulos:
Sabemos que $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{a^2 + b^2}{4}) - 1 = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
También: $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(\frac{a^2 + b^2 - 2}{2})^2 - 1 = \frac{(a^2 + b^2 - 2)^2}{2} - 1$.

Igualamos los valores de $\cos 4x$:
$$\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a^2 + b^2 - 2)^2}{2} - 1$$
Resultado: $1 + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a^2 + b^2 - 2)^2}{2}$