Datos del problema:

• Se desea probar una igualdad que expresa $\cos\theta$ como una raíz anidada.
• La igualdad es válida para $0\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}$, donde $\cos\theta\ge 0$, para poder tomar la raíz positiva.

Fórmulas/propiedades a usar:

• Identidad del ángulo doble: $\cos(2x)=2\cos^2 x-1$.
• Identidad de ángulo medio (derivada de la anterior):
  $$ \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}\quad \Longrightarrow\quad \cos x=\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}\ \ \text{si}\ \ 0\le x\le \tfrac{\pi}{2}. $$

Desarrollo paso a paso:

1) Aplicando la identidad de ángulo medio con $x=\theta$:
$$ \cos\theta=\sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}}=\sqrt{\frac12+\frac12\cos(2\theta)}. $$

2) Volvemos a aplicar la misma identidad ahora a $\cos(2\theta)$, pensando en $x=2\theta$:
$$ \cos(2\theta)=\sqrt{\frac12+\frac12\cos(4\theta)}\quad\text{(válido pues }0\le 2\theta\le \pi\text{ y tomamos la rama no negativa).} $$
Sustituyendo en el paso anterior,
$$ \cos\theta=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos(4\theta)}}. $$

3) Una vez más, aplicamos la identidad a $\cos(4\theta)$ con $x=4\theta$:
$$ \cos(4\theta)=\sqrt{\frac12+\frac12\cos(8\theta)}, $$
y sustituyendo obtenemos
$$ \cos\theta=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos(8\theta)}}}. $$

Resultado final:
$$ \boxed{\ \displaystyle \cos\theta=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos(8\theta)}}}\ }\quad \text{para }0\le \theta \le \frac{\pi}{2}. $$

Observación: Fuera de ese intervalo, la cadena de igualdades sigue siendo cierta para $\lvert\cos\theta\rvert$, por lo que habría que anteponer un signo acorde al cuadrante de $\theta$.