1. Simplificación de la expresión:
Buscamos un denominador común:
$$ \frac{(1 + \sin x)(1 + \cos x) + (1 - \sin x)(1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \le a $$
Desarrollamos los numeradores:
$$ (1 + \cos x + \sin x + \sin x \cos x) + (1 - \cos x - \sin x + \sin x \cos x) $$
Al sumar, los términos $\cos x$ y $\sin x$ se cancelan:
$$ 2 + 2 \sin x \cos x = 2 + \sin 2x $$
El denominador es:
$$ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x $$
La inecuación queda:
$$ \frac{2 + \sin 2x}{\sin^2 x} \le a $$

2. Uso de identidades:
Sabiendo que $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$$ \frac{2}{\sin^2 x} + \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^2 x} \le a \implies 2\csc^2 x + 2\cot x \le a $$
Usando $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$:
$$ 2(1 + \cot^2 x) + 2\cot x \le a \implies 2\cot^2 x + 2\cot x + (2 - a) \le 0 $$

3. Resolución:
Sea $u = \cot x$. Resolvemos la cuadrática $2u^2 + 2u + (2 - a) \le 0$. Las raíces dependen del valor de $a$. Para que existan soluciones reales, el discriminante $\Delta = 4 - 8(2 - a) = 8a - 12$ debe ser $\ge 0$, es decir, $a \ge 1.5$.
Las raíces son $u_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8a-12}}{4}$. El intervalo para $\cot x$ es $[u_1, u_2]$.

$$ \boxed{ \text{Si } a \ge \frac{3}{2}, \quad x \in \text{arcctg}\left( \frac{-1 + \sqrt{2a-3}}{2} \right) + k\pi \le x \le \text{arcctg}\left( \frac{-1 - \sqrt{2a-3}}{2} \right) + k\pi } $$