1. Datos y planteamiento:
El sistema presenta la suma ($S$) y el producto ($P$) de dos incógnitas, $u = \sin x$ y $v = \sin y$. Podemos modelar estas incógnitas como las raíces de una ecuación cuadrática de la forma:
$$ t^2 - St + P = 0 $$
Donde $S = a$ y $P = -2a^2$.

2. Resolución de la ecuación auxiliar:
Sustituimos los valores:
$$ t^2 - at - 2a^2 = 0 $$
Factorizamos buscando dos números que multiplicados den $-2a^2$ y sumados den $-a$:
$$ (t - 2a)(t + a) = 0 $$
Las soluciones para $t$ son:
$$ t_1 = 2a \quad \text{y} \quad t_2 = -a $$

3. Análisis de existencia:
Para que existan soluciones reales para $x$ e $y$, los valores de los senos deben estar en el rango $[-1, 1]$. Por lo tanto:
$$ |\sin x| \le 1 \implies |2a| \le 1 \implies |a| \le \frac{1}{2} $$
$$ |\sin y| \le 1 \implies |-a| \le 1 \implies |a| \le 1 $$
La condición restrictiva es $|a| \le \frac{1}{2}$.

4. Cálculo de las variables:
Tenemos dos casos posibles:
Caso 1: $\sin x = 2a$ y $\sin y = -a$
$$ x = (-1)^k \arcsin(2a) + k\pi, \quad y = (-1)^n \arcsin(-a) + n\pi $$
Caso 2: $\sin x = -a$ y $\sin y = 2a$
$$ x = (-1)^k \arcsin(-a) + k\pi, \quad y = (-1)^n \arcsin(2a) + n\pi $$

$$ \boxed{ \begin{cases} x = (-1)^k \arcsin(2a) + k\pi \\ y = (-1)^n \arcsin(-a) + n\pi \end{cases} \lor \begin{cases} x = (-1)^k \arcsin(-a) + k\pi \\ y = (-1)^n \arcsin(2a) + n\pi \end{cases} } $$
Donde $k, n \in \mathbb{Z}$ y $|a| \le \frac{1}{2}$.