1. Datos: Una diferencia de ángulos y una ecuación con cosenos de ángulos dobles.
2. Identidades: $\cos 2x + \cos 2y = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$.
3. Desarrollo:
Sustituimos la identidad y la primera ecuación ($x-y=a$):
$$ 2[2\cos(x+y)\cos a] = 1 + 4\cos^2 a $$
$$ 4\cos(x+y)\cos a = 1 + 4\cos^2 a $$
Despejamos $\cos(x+y)$:
$$ \cos(x+y) = \frac{1 + 4\cos^2 a}{4\cos a} = \frac{1}{4\cos a} + \cos a $$
Para que exista solución, $|\frac{1}{4\cos a} + \cos a| \leq 1$.
4. Resultado:
El sistema tiene solución si se cumple la condición de rango para $\cos(x+y)$, resultando en:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x+y &= \pm \arccos\left(\frac{1+4\cos^2 a}{4\cos a}\right) + 2k\pi \\ x-y &= a \end{aligned} $$
(Se resuelve como sistema lineal para $x$ e $y$).