1. Análisis: Notamos que $|\sin \theta| \leq 1$.
Sumando las ecuaciones: $\sin(x+2y) = a^2 + a + 1$.
Restando las ecuaciones: $\sin(x-2y) = a^2 - a + 1$.
Para que existan soluciones reales, los valores absolutos deben ser $\leq 1$.
Analizando $f(a) = a^2 + a + 1$, el valor mínimo es $3/4$ en $a = -1/2$. La única forma de que no exceda 1 es si $a=0$ o $a=-1$.
Si $a=0$: $\sin(x+2y)=1$ y $\sin(x-2y)=1$.
Esto implica $x+2y = \pi/2 + 2n\pi$ y $x-2y = \pi/2 + 2k\pi$.
Sumando: $2x = \pi + 2(n+k)\pi \implies x = \pi/2 + (n+k)\pi$.
Restando: $4y = 2(n-k)\pi \implies y = \frac{(n-k)\pi}{2}$.
2. Resultado:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad y = \frac{p\pi}{2} \quad (\text{para } a=0)} $$