1. Datos: Productos cruzados de seno y coseno.
2. Propiedades: Identidades de seno de la suma y resta.
3. Desarrollo:
Sumamos: $\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2a + a \implies \sin(x+y) = 3a$.
Restamos: $\sin x \cos y - \cos x \sin y = 2a - a \implies \sin(x-y) = a$.
Determinamos los ángulos:
$x+y = (-1)^n \arcsin(3a) + n\pi$
$x-y = (-1)^k \arcsin(a) + k\pi$
4. Resultado:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{1}{2} [(-1)^n \arcsin(3a) + (-1)^k \arcsin(a) + (n+k)\pi] \\ y &= \frac{1}{2} [(-1)^n \arcsin(3a) - (-1)^k \arcsin(a) + (n-k)\pi] \end{aligned} $$