1. Datos del problema:
Sistema de productos de funciones trigonométricas.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidades de suma y resta de ángulos:
$$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $$
$$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sumamos las dos ecuaciones:
$$ \cos x \cos y + \sin x \sin y = 3a + a \implies \cos(x-y) = 4a $$
Restamos las ecuaciones (segunda menos primera):
$$ \cos x \cos y - \sin x \sin y = 3a - a \implies \cos(x+y) = 2a $$
Obtenemos los valores de los ángulos:
$$ x - y = \pm \arccos(4a) + 2k\pi $$
$$ x + y = \pm \arccos(2a) + 2n\pi $$
Resolviendo el sistema lineal resultante para $x$ y $y$:
$x = \frac{(x+y) + (x-y)}{2}$ y $y = \frac{(x+y) - (x-y)}{2}$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{1}{2} [\pm \arccos(2a) \pm \arccos(4a) + 2(n+k)\pi] \\ y &= \frac{1}{2} [\pm \arccos(2a) \mp \arccos(4a) + 2(n-k)\pi] \end{aligned} $$