1. Datos del problema:
Se presenta un sistema con dos incógnitas $x, y$ y dos constantes $a, b$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad de la diferencia de cuadrados para senos:
$$ \sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x+y)\sin(x-y) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la segunda ecuación $x + y = b$ en la identidad mencionada:
$$ \sin(b)\sin(x-y) = a $$
Despejamos el término con la diferencia:
$$ \sin(x-y) = \frac{a}{\sin b} $$
Aplicamos la función arcoseno:
$$ x - y = \arcsin\left(\frac{a}{\sin b}\right) + k\pi $$
Para simplificar, definamos $\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{\sin b}\right)$. Tenemos ahora un sistema lineal:
$$ \begin{cases} x + y = b \\ x - y = \alpha \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones: $2x = b + \alpha \implies x = \frac{b + \alpha}{2}$.
Restando las ecuaciones: $2y = b - \alpha \implies y = \frac{b - \alpha}{2}$.

4. Conclusión:
Considerando la periodicidad de la función seno, la solución general es:
$$ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{1}{2} \left[ b + (-1)^k \arcsin\left(\frac{a}{\sin b}\right) + k\pi \right] \\ y &= \frac{1}{2} \left[ b - (-1)^k \arcsin\left(\frac{a}{\sin b}\right) - k\pi \right] \end{aligned} $$